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<!DOCTYPE html>

<title>Triangle de Pascal</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Triangle de Pascal</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="fr" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="fr" dir="ltr"><div class="infobox_v3 infobox infobox--frwiki noarchive large"><div class="entete" style="background-color:#E8E8E8"><div>Triangle de Pascal</div></div><div><div class="images" style="padding:2px 0"></div></div><table><caption style="text-align:center;background-color:#E8E8E8">Caractéristiques</caption><tbody><tr class=""><th scope="row">Composé de</th><td class=""><div>

<a href="Coefficient_binomial" title="Coefficient binomial">Coefficient binomial</a> <a href="Suite_de_Fibonacci" title="Suite de Fibonacci">Suite de Fibonacci</a></div></td></tr></tbody></table></div>

En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, le triangle de Pascal est une présentation des <a href="Coefficient_binomial" title="Coefficient binomial">coefficients binomiaux</a> dans un <a href="Tableau_triangulaire" title="Tableau triangulaire">tableau triangulaire</a>. Il a été nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français <a href="Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a>. Il est connu sous l'appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu'il ait été étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en <a href="Inde" title="Inde">Inde</a>, en <a href="Empire_perse" title="Empire perse">Perse</a> (où il est appelé « triangle de <a href="Omar_Khayyam" title="Omar Khayyam">Khayyam</a> »), au <a href="Maghreb" title="Maghreb">Maghreb</a>, en <a href="Chine" title="Chine">Chine</a> (où il est appelé « triangle de <a href="Yang_Hui" title="Yang Hui">Yang Hui</a> »), en <a href="Allemagne" title="Allemagne">Allemagne</a> et en <a href="Italie" title="Italie">Italie</a> (où il est appelé « triangle de <a href="Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia" title="Niccolò Fontana Tartaglia">Tartaglia</a> »).

La construction du triangle est régie par la relation de Pascal :

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/203b128a098e18cbb8cf36d004bd7282b28461bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.392ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}" loading="lazy"></dd></dl>

pour tous <a href="Entier_naturel" title="Entier naturel">entiers</a> n et k tels que 0 < k < n<a href="#cite_note-1">[note 1]</a>.

Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionnelle est appelée <a href="Pyramide_de_Pascal" title="Pyramide de Pascal">pyramide de Pascal</a> ou tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées <a href="Simplexe" title="Simplexe">simplexes</a> de Pascal.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Histoire">Histoire</h2></div>

La tradition occidentale attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en <a href="Extr%C3%AAme-Orient" title="Extrême-Orient">Orient</a> et au <a href="Moyen-Orient" title="Moyen-Orient">Moyen-Orient</a> plusieurs siècles avant la publication de <a href="Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a>. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple <a href="Al-Karaji" title="Al-Karaji">al-Karaji</a> (<a href="953" title="953">953</a>-<a href="1029" title="1029">1029</a>)<a href="#cite_note-2">[1]</a> ou <a href="Omar_Khayyam" title="Omar Khayyam">Omar Khayyam</a> au <a href="XIe_si%C3%A8cle" title="XIe siècle"><abbr class="abbr" title="11ᵉ siècle">XIe</abbr> siècle</a> ou des mathématiciens du Maghreb comme <a href="Ibn_al-Banna'_al-Marrakushi" title="Ibn al-Banna' al-Marrakushi">Ibn al-Banna</a><a href="#cite_note-3">[2]</a> et ses disciples qui l'utilisent pour développer (a + b)n. <a href="Math%C3%A9matiques_chinoises#Mathématiques_sous_les_dynasties_Song_et_Yuan" title="Mathématiques chinoises">Il apparaît en Chine</a> dès <a href="1261" title="1261">1261</a> dans un ouvrage de <a href="Yang_Hui" title="Yang Hui">Yang Hui</a> (au rang 6) et dans le Miroir de jade des quatre éléments de <a href="Zhu_Shijie" title="Zhu Shijie">Zhu Shijie</a> en <a href="1303" title="1303">1303</a> (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du <abbr class="abbr" title="11ᵉ siècle">XIe</abbr> siècle <a href="Jia_Xian" title="Jia Xian">Jia Xian</a>. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la <a href="Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton" title="Formule du binôme de Newton">formule du binôme</a> et, selon <a href="Victor_J._Katz" title="Victor J. Katz">Victor J. Katz</a>, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à 2 la méthode d'extraction de racine<a href="#cite_note-4">[3]</a>.

En Europe, il apparaît dans l'ouvrage de <a href="Petrus_Apianus" title="Petrus Apianus">Peter Apian</a>, Rechnung<a href="#cite_note-5">[4]</a> (1527). Il est étudié par <a href="Michael_Stifel" title="Michael Stifel">Michael Stifel</a> (1486-1567)<a href="#cite_note-6">[5]</a>, <a href="Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia" title="Niccolò Fontana Tartaglia">Tartaglia</a> (1499-1557) et <a href="Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te" title="François Viète">François Viète</a> (1540-1603). C'est d'ailleurs sous le nom de « triangle de Tartaglia » qu'il est connu en Italie. Il est également connu de <a href="Marin_Mersenne" title="Marin Mersenne">Marin Mersenne</a> (1588-1648)<a href="#cite_note-7">[6]</a>. Mais c'est <a href="Blaise_Pascal" title="Blaise Pascal">Blaise Pascal</a> qui lui consacre un traité : le <a href="Trait%C3%A9_du_triangle_arithm%C3%A9tique" title="Traité du triangle arithmétique">Traité du triangle arithmétique</a> (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition <a href="Combinatoire" title="Combinatoire">combinatoire</a> des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du <a href="Raisonnement_par_r%C3%A9currence" title="Raisonnement par récurrence">raisonnement par récurrence</a>. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binôme. Il l'utilise dans la résolution d'un problème de partage équitable des enjeux dans un jeu de hasard qui est interrompu avant le terme défini (<a href="Probl%C3%A8me_des_partis" title="Problème des partis">problème des partis</a>)<a href="#cite_note-8">[note 2]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Construction">Construction</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Combinatoire">Combinatoire</h3></div>

En écrivant la formule de Pascal,

<dl><dd>pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}}">

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e0813f04a21c36c208115457e4d2c4522579dd6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:26.927ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}}" loading="lazy">,</dd></dl>

on remarque que le coefficient de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus on a :

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/322e6e8fe708c4ec2a2ba6595f1ba867605d8669.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.991ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}" loading="lazy">.</dd></dl>

On peut en déduire une méthode de construction du triangle de Pascal, qui consiste, sous forme pyramidale, à placer un 1 au sommet de la pyramide, puis à ajouter un 1 de chaque côté juste en dessous. Les extrémités des lignes sont toujours des 1, tandis que les autres nombres sont la somme des deux nombres situés directement au-dessus.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nombre_de_chemins_dans_un_réseau_binaire">Nombre de chemins dans un réseau binaire</h3></div>

Imaginons que chaque nombre dans le triangle est un nœud dans un réseau qui est connecté aux nombres adjacents du dessus et du dessous. Maintenant pour n'importe quel nœud dans le réseau, comptons le nombre de chemins qu'il y a dans le réseau (sans faire une marche arrière) qui connecte ce nœud au nœud supérieur du triangle. La réponse est le nombre de Pascal associé à ce nœud.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés">Propriétés</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liées_à_la_construction">Liées à la construction</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Concernant_les_lignes_horizontales">Concernant les lignes horizontales</h4></div>

<ul><li>Le triangle est symétrique par rapport à un axe vertical ; il en est donc de même pour chaque ligne : par exemple, la ligne de rang 4 est 1, 4, 6, 4, 1.</li></ul>

<ul><li>La somme des termes d'une ligne est le double de la somme précédente ; elle est donc égale à 2n pour la ligne de rang n (première ligne = rang 0)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Concernant_les_lignes_obliques">Concernant les lignes obliques</h4></div>

Elle repose sur l’égalité connue sous le nom de <a href="Formule_d'it%C3%A9ration_de_Pascal" title="Formule d'itération de Pascal">formule d'itération de Pascal</a> ou formule de la crosse de hockey<a href="#cite_note-9">[7]</a> :

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{j=n}^{r}{\binom {j}{n}}={\binom {r+1}{n+1}}}</annotation>

</semantics>

</math>.

Si l'on fait une somme de termes, en partant d'un bord gauche du triangle et en descendant en oblique vers la droite, on obtient le terme situé en diagonale en bas à gauche du dernier terme de la somme.

<dl><dd>Exemple 1 : descente en diagonale de 4 termes à partir de la <abbr class="abbr" title="Troisième">3e</abbr> ligne : 1 + 3 + 6 + 10 = 20, terme situé en bas à gauche du dernier terme.</dd>

<dd>Exemple 2 : descente en diagonale de 5 termes à partir de la <abbr class="abbr" title="Cinquième">5e</abbr> ligne : 1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126, terme situé en bas à gauche du 70.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Concernant_les_diagonales_ascendantes">Concernant les diagonales ascendantes</h4></div>

Lorsque le triangle est disposé comme dans la figure ci-contre à gauche (au lieu d'être symétrique par rapport à une verticale), la somme des termes des diagonales de pente 1 forme la <a href="Suite_de_Fibonacci" title="Suite de Fibonacci">suite de Fibonacci</a>. Si, au lieu d'en faire la somme, on compte le nombre de coefficients impairs sur ces diagonales, on obtient la <a href="Suite_diatomique_de_Stern" title="Suite diatomique de Stern">suite diatomique de Stern</a> (figure de droite).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formule_du_binôme">Formule du binôme</h3></div>

Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les <a href="Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton" title="Formule du binôme de Newton">développements binomiaux</a>. En effet, on trouve sur une même ligne tous les coefficients intervenant dans le développement d'une puissance de la somme de deux termes.

<dl><dd>Exemple : (X + 1)2 = X2 + 2X + 12 et les coefficients de chaque monôme sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal (la ligne de rang 2), c'est-à-dire 1, 2, 1.</dd>

<dd>Généralisation : (X + Y)n = a0XnY0 + a1Xn–1Y1 + ... + anX0Yn, où les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1e ligne du triangle de Pascal (ligne de rang n).</dd></dl>

Connaissant ainsi la formule de sommation <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ba1045b1ad6f43e6d2913f30466b0c7f06c731f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:26.231ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}}" loading="lazy">, plusieurs propriétés apparaissent simplement.

Posons a = b = 1, on a alors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 2^{n}=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}\,{}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 2^{n}=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}\,{}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/269d1f2cc1027436980cc8ccddb2ab06c4a8fdca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:14.812ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle 2^{n}=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}\,{}}" loading="lazy">.

Posons a = 1 et b = –1, on a alors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}\,(-1)^{i}}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}\,(-1)^{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2c75bd69767127349cb9194d4d56d078e46144f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:19.173ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}\,{n \choose i}\,(-1)^{i}}" loading="lazy">.

Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est 2n–1 et est égale à la somme des termes d'ordre 1, 3, 5, ....

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Propriété_liée_au_dénombrement">Propriété liée au dénombrement</h3></div>

Le nombre situé dans la colonne p (en comptant à partir de 0 les colonnes) et la ligne n (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de <a href="Combinaison_sans_r%C3%A9p%C3%A9tition" class="mw-redirect" title="Combinaison sans répétition">combinaisons</a> possibles de p éléments dans un ensemble à n éléments.

Dans la ligne n et la colonne p, on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {n \choose p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}}">

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fb1e49ba090bb5542a7e3cbedb995dc28aaea0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:18.427ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {n \choose p}={\frac {n!}{p!(n-p)!}}}" loading="lazy">.

<ul><li>Dans la ligne n et la colonne p, on lit le nombre de fois où l'on peut espérer obtenir p piles et n–p faces lors de n lancers d'une pièce équilibrée <a href="#cite_note-10">[note 3]</a></li>

<li>En multipliant un terme par le rang de sa colonne et en le divisant par le rang de sa ligne, on obtient le terme situé un cran plus haut sur la gauche

<dl><dd>exemple le terme dans la ligne 6 et la colonne 4 est 15 (on rappelle que les lignes et les colonnes sont numérotées en commençant à 0) ; or 15 × 4/6=10 situé dans la case juste à côté en haut à gauche.</dd></dl></li>

<li>En multipliant le terme de ligne n et de colonne p par<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n-p}{p+1}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n-p}{p+1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff6930976c465231e3d5723188ccaef143754b6c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.241ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {n-p}{p+1}}}" loading="lazy">, on obtient son voisin sur la droite</li>

<li>Tous les termes de la ligne de rang n (sauf le premier et le dernier) sont multiples de n si et seulement si n est un nombre premier</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nombres_de_Catalan">Nombres de Catalan</h3></div>

Toutes les lignes de rang pair (2n) ont un terme central, en divisant ce terme par n+1 ou en lui ôtant son voisin, on obtient un nombre de <a href="Eug%C3%A8ne_Charles_Catalan" title="Eugène Charles Catalan">Catalan</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Triangle_de_Sierpiński">Triangle de Sierpiński</h3></div>

Si l'on inscrit le triangle de Pascal dans une trame triangulaire, la réunion des cellules contenant des termes impairs est un <a href="Triangle_de_Sierpi%C5%84ski" title="Triangle de Sierpiński">triangle de Sierpiński</a><a href="#cite_note-11">[8]</a>.

Si p est un <a href="Nombre_premier" title="Nombre premier">nombre premier</a> supérieur à 2, on peut obtenir des structures fractales analogues en coloriant toutes les cellules qui ne sont pas congrues à 0 modulo p.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Nombres_figurés">Nombres figurés</h3></div>

Les nombres situés sur la troisième diagonale descendante correspondent aux <a href="Nombre_triangulaire" title="Nombre triangulaire">nombres triangulaires</a>, ceux de la quatrième diagonale aux <a href="Nombre_t%C3%A9tra%C3%A9drique" title="Nombre tétraédrique">nombres tétraédriques</a>, ceux de la cinquième diagonale aux <a href="Nombre_pentatopique" title="Nombre pentatopique">nombres pentatopiques</a> et ceux de la n-ième diagonale aux nombres n-topiques.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formules_trigonométriques">Formules trigonométriques</h3></div>

La formule du binôme appliqué à la <a href="Formule_de_Moivre" title="Formule de Moivre">formule de Moivre</a>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\cos(\theta )+\mathrm {i} \sin(\theta ))^{n}=\cos(n\theta )+\mathrm {i} \sin(n\theta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7569d7cad3acbda61335a2156a79ad143c23ec9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:40.197ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\cos(\theta )+\mathrm {i} \sin(\theta ))^{n}=\cos(n\theta )+\mathrm {i} \sin(n\theta )}" loading="lazy"></dd></dl>

permet de développer cos(nθ) et sin(nθ).

Les coefficients situés sur la ligne de rang n permettent d'écrire tan(nθ) en fonction de t = tan θ

<dl><dd>Exemple : sur la ligne 4 on lit 1 – 4 – 6 – 4 – 1 et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan(4\theta )={\frac {4t-4t^{3}}{1-6t^{2}+t^{4}}}}">

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan(4\theta )={\frac {4t-4t^{3}}{1-6t^{2}+t^{4}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e63c3160b6f882428bd959bf36e78ee6671b71f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.15ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \tan(4\theta )={\frac {4t-4t^{3}}{1-6t^{2}+t^{4}}}}" loading="lazy"></dd>

<dd>Formule générale : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{(-1)^{k}{n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n \choose 2k}t^{2k}}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

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</mrow>

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<mrow>

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<mrow>

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</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

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</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{(-1)^{k}{n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n \choose 2k}t^{2k}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a923d810ddbf51dd8eeac5b18571b140982b39b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.838ex; width:36.368ex; height:11.009ex;" alt="{\displaystyle \tan(n\theta )={\frac {\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{(-1)^{k}{n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{n \choose 2k}t^{2k}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Les coefficients situés sur une diagonale ascendante permettent d'exprimer sin(nθ) comme produit de sin θ par un polynôme en 2 cos θ (voir <a href="Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev" title="Polynôme de Tchebychev">Polynôme de Tchebychev</a>) :

<dl><dd>Exemple : sur la diagonale ascendante de rang 5, on lit 1 – 3 – 1 et</dd></dl>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(5\theta )&=\sin \theta \left[(2\cos \theta )^{4}-3(2\cos \theta )^{2}+1\right]\\\ &=\sin \theta (16\cos ^{4}\theta -12\cos ^{2}\theta +1)=\sin \theta \times U_{4}(\cos \theta )\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/734b21d93c1113911e3d478d66a3115e16cea139.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:59.775ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(5\theta )&=\sin \theta \left[(2\cos \theta )^{4}-3(2\cos \theta )^{2}+1\right]\\\ &=\sin \theta (16\cos ^{4}\theta -12\cos ^{2}\theta +1)=\sin \theta \times U_{4}(\cos \theta )\end{aligned}}}" loading="lazy">

<dl><dd>où U4 est le <a href="Polyn%C3%B4me_de_Tchebychev#Propriétés_des_polynômes_de_Tchebychev_de_2e_espèce" title="Polynôme de Tchebychev">polynôme de Tchebychev de seconde espèce</a> d'ordre 4.</dd>

<dd>Généralisation<a href="#cite_note-12">[9]</a> : si les termes de la diagonale ascendante de rang n sont <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{n,0},a_{n,1},\cdots a_{n,[(n-1)/2]}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{n,0},a_{n,1},\cdots a_{n,[(n-1)/2]}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/068d687da636271cdf5cbbd8e934828468632688.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:22.464ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a_{n,0},a_{n,1},\cdots a_{n,[(n-1)/2]}}" loading="lazy">, on a</dd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(n\theta )=\sin(\theta )\left(\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(-1)^{k}a_{n,k}\left(2\cos(\theta )\right)^{n-1-2k}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5ed3ed96aaffb309fdd45a94122e920a224a6c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:52.819ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle \sin(n\theta )=\sin(\theta )\left(\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(-1)^{k}a_{n,k}\left(2\cos(\theta )\right)^{n-1-2k}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Par conséquent, les coefficients situés sur la diagonale ascendante de rang n permettent de déterminer un polynôme de degré <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor .}">

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/242c09e7850136f10231934c5cb997e046254fc5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:7.412ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor .}" loading="lazy"> dont les racines sont les valeurs <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\right)^{2}}">

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eda1afd709b5b3dc4066ede05fce62f7e6fdd9bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.9ex; height:5.176ex;" alt="{\textstyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\right)^{2}}" loading="lazy"><a href="#cite_note-13">[10]</a> pour k variant de 1 à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor .}">

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor .}</annotation>

</semantics>

<dl><dd>Exemple : sur la diagonale de rang 7, on lit 1 – 5 – 6 – 1, on sait donc que les <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{7}}\right)\right)^{2}}">

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{7}}\right)\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b1bdf41c608b8fe408e43cdfe37c7ef9dbb03143.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.937ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{7}}\right)\right)^{2}}" loading="lazy"> (pour k = 1, 2, 3) sont les racines de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=x^{3}-5x^{2}+6x-1}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=x^{3}-5x^{2}+6x-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed36adf8d68efab815d06d0622bb1d049539fdb5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.089ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle P(x)=x^{3}-5x^{2}+6x-1}" loading="lazy">.</dd>

<dd>Généralisation : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(-1)^{k}a_{n,k}x^{\lfloor (n-1)/2\rfloor -k}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(-1)^{k}a_{n,k}x^{\lfloor (n-1)/2\rfloor -k}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e16ef56ff4f9188831f88b05ee8d997ba1270fa5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.251ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(-1)^{k}a_{n,k}x^{\lfloor (n-1)/2\rfloor -k}}" loading="lazy"> a pour racines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\right)^{2}}">

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/16a1ee0dc9f43e38a22422b1247d0c52ca50f84b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.937ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left(2\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)\right)^{2}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformée_de_Fourier_de_sin(x)n+1/x">Transformée de Fourier de sin(x)n+1/x</h3></div>

Les coefficients de (x + 1)n sont la ne ligne du triangle. Les coefficients de (x − 1)n sont les mêmes, sauf que le signe est alterné.

Après une normalisation appropriée, la même suite de nombres est présente dans la <a href="Transformation_de_Fourier" title="Transformation de Fourier">transformée de Fourier</a> de sin(x)n+1/x.

Plus précisément : si n est pair, il faut prendre la partie réelle de la transformée et si n est impair, il faut prendre la partie imaginaire.

Le résultat est alors une <a href="Fonction_%C3%A9tag%C3%A9e" title="Fonction étagée">fonction étagée</a> dont les valeurs (convenablement normalisées) sont données par la ne rangée du triangle en alternant les signes.

Ainsi :

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtext>Fourier</mtext>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f7d4618708b6da830167e32a47559d936f29077b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:25.77ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

compose la <abbr class="abbr" title="Quatrième">4e</abbr> rangée du triangle, avec des signes alternés.

C'est une généralisation du résultat suivant (souvent utilisé en ingénierie électrique) :

</mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtext>Fourier</mtext>

</mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\right]\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/505eaa95dfb01318e505e1a32d955d2c8cf70db9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:24.2ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \,{\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)}{x}}\right]\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

est la <a href="Fonction_de_Heaviside" title="Fonction de Heaviside">fonction de Heaviside</a>.

La rangée correspondante du triangle est la rangée 0, qui est restreinte au nombre 1.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Généralisations">Généralisations</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Binôme_généralisé">Binôme généralisé</h3></div>

La relation de Pascal s'étend aux <a href="Formule_du_bin%C3%B4me_g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9e#Énoncé" title="Formule du binôme généralisée">coefficients binomiaux généralisés</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r \choose k}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mfrac>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r \choose k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/852b7e2a903ce674ea69c6ae8ec9383c85d14906.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:4.632ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle r \choose k}" loading="lazy">, dans lesquels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"> est un <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">nombre complexe</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Généralisation_aux_dimensions_supérieures">Généralisation aux dimensions supérieures</h3></div>

Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la <a href="Pyramide_de_Pascal" title="Pyramide de Pascal">pyramide de Pascal</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Généralisation_aux_indices_de_ligne_ou_de_colonne_négatifs">Généralisation aux indices de ligne ou de colonne négatifs</h3></div>

Le triangle de Pascal se généralise aux indices de ligne négatifs.

D'abord, il faut écrire le triangle sous la forme suivante  :

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr></tbody></table>

Ensuite l'écrire de la façon suivante :

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr></tbody></table>

La formule :

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9886511191b4b11a3bad076bde995bcc4093bfa8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.684ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}}" loading="lazy"></dd></dl>

peut être ré-arrangée de la façon suivante :

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n-1 \choose m}={n \choose m}-{n-1 \choose m-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3125c43a05ef3cbded669dece6bfaa9c6eee4eec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.684ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {n-1 \choose m}={n \choose m}-{n-1 \choose m-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

ce qui permet le calcul des termes de rang négatif :

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr></tbody></table>

Cette extension préserve les formules :

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose m}={\frac {1}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}(n-k)={\frac {1}{m!}}\prod _{k=1}^{m}(n-k+1)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45f08aedbd9613114886926ba10ea30e770a5034.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:44.506ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {n \choose m}={\frac {1}{m!}}\prod _{k=0}^{m-1}(n-k)={\frac {1}{m!}}\prod _{k=1}^{m}(n-k+1)}" loading="lazy">.</dd></dl>

et

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}\quad {\textrm {pour}}|x|<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb90a634b7f0102d8f96b8441444178b1aa4e9e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.301ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}\quad {\textrm {pour}}|x|<1}" loading="lazy"></dd></dl>

Ainsi :

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1+x)^{-2}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+...\quad {\textrm {pour}}|x|<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11d2f65ef820569af36804912cc02d7f730c2674.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:50.618ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (1+x)^{-2}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+...\quad {\textrm {pour}}|x|<1}" loading="lazy"></dd></dl>

Une autre possibilité d'extension par rapport aux colonnes d'indice négatif est la suivante :

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr></tbody></table>

En appliquant les mêmes règles que précédemment, il vient :

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>..

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr>

<tr>

<td>...

</td></tr></tbody></table>

Cette généralisation permet de conserver la propriété d'exponentielle d'une matrice. En effet, comme on a,

<mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7ae5a5ea3c8b2143a3496c45b46b3f0228cb0c4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.338ex; width:46.364ex; height:15.843ex;" alt="{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

on étend à,

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&0&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&2&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&3&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&4&.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.\\-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.\\1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&2&1&.&.\\.&.&.&.&.&1&3&3&1&.\\.&.&.&.&.&1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cfa05d80d07a72f27fdb8e80f4cf640b6e44470.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -15.505ex; width:95.68ex; height:32.176ex;" alt="{\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&-3&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&-2&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&-1&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&0&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&2&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&3&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&4&.\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\-4&1&.&.&.&.&.&.&.&.\\6&-3&1&.&.&.&.&.&.&.\\-4&3&-2&1&.&.&.&.&.&.\\1&-1&1&-1&1&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&1&.&.&.\\.&.&.&.&.&1&2&1&.&.\\.&.&.&.&.&1&3&3&1&.\\.&.&.&.&.&1&4&6&4&1\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Ces deux généralisations peuvent être aussi obtenues à l'aide de la <a href="Fonction_gamma" title="Fonction gamma">fonction gamma</a>, en écrivant :

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

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<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}\equiv {\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-k+1)\Gamma (k+1)}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7c237715860597667ff58f883c5004388129065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:43.633ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}\equiv {\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-k+1)\Gamma (k+1)}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle?oldid=443397609">Pascal's triangle</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notes">Notes</h3></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Ou <a href="Coefficient_binomial#Propriété_récursive_des_coefficients_binomiaux_d'entiers" title="Coefficient binomial">plus généralement, pour tous entiers relatifs</a> n et k, avec la convention <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {n \choose k}=0}">

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {n \choose k}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de8ea4e63baa4433398ac0541a21354c5750ab76.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:9.077ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {n \choose k}=0}" loading="lazy"> si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k<0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d59e54fad8568e90715f2b10521d3e39bc45fca9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k<0}" loading="lazy"> ou <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k>n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k>n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66e81682bf174c978e9008ffb557ba4da2cf7478.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.704ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k>n}" loading="lazy">.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> Formule exploitée par Pascal dans son problème des partis.

</li>

</ol></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Références">Références</h3></div>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="John_J._O'Connor" title="John J. O'Connor">John J. O'Connor</a> et <a href="Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Karaji"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji</cite></a> », sur <a href="MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor</a>, <a href="Universit%C3%A9_de_St_Andrews" title="Université de St Andrews">université de St Andrews</a>.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="John_J._O'Connor" title="John J. O'Connor">John J. O'Connor</a> et <a href="Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Banna"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Ibn al-Banna</cite></a> », sur <a href="MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor</a>, <a href="Universit%C3%A9_de_St_Andrews" title="Université de St Andrews">université de St Andrews</a>.

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Victor_J._Katz" title="Victor J. Katz">V. J. Katz</a>, A History Of Mathematics: An Introduction, 1992 (d'après <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.roma.unisa.edu.au/07305/pascal.htm">Binomial Theorem and the Pascal Triangle</a>, par l'<a href="Universit%C3%A9_d'Australie-M%C3%A9ridionale" title="Université d'Australie-Méridionale">UniSA</a>).

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/TrgPasc2.htm#TrgPas">Site de Gérard Villemin</a>.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Henri Bosmans, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://logica.ugent.be/albrecht/math/bosmans/R079.pdf">Note historique sur le triangle arithmétique</a> <abbr class="abbr indicateur-format format-pdf" title="Document au format Portable Document Format (PDF)">[PDF]</abbr>.

</li>

<abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : latin">(la)</abbr> Marin Mersenne, <cite class="italique" lang="la">F. Marini Mersenni Harmonicorum libri</cite>, Paris, G. Baudry, <time>1636</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k63326258/f155.image">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 136<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=F.+Marini+Mersenni+Harmonicorum+libri&rft.place=Paris&rft.pub=G.+Baudry&rft.aulast=Mersenne&rft.aufirst=Marin&rft.date=1636&rft.pages=136&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ATriangle+de+Pascal">.

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/ChristmasStockingTheorem.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Christmas Stocking Theorem</cite></a> », sur <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a>.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a href="Ian_Stewart_(math%C3%A9maticien)" title="Ian Stewart (mathématicien)">Ian Stewart</a>, « Les fractals de Pascal », <a href="Pour_la_science" title="Pour la science">Pour la science</a>, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 129, 1988, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 100-105. Selon <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.is/8RBL">ce site</a>.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> Henri Immediato, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://nte-serveur.univ-lyon1.fr/nte/immediato/recurrence/chap08/chap08c.htm#calcul_pratique">Calcul pratique avec le triangle de Pascal</a>.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.gecif.net/articles/mathematiques/trianglepascal/">Comment calculer les nombres réels COS(pi/n) grâce au triangle de Pascal</a>.

</li>

</ol>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li><a href="Combinaison_sans_r%C3%A9p%C3%A9tition" class="mw-redirect" title="Combinaison sans répétition">Combinaison sans répétition</a></li>

<li><a href="Combinatoire" title="Combinatoire">Combinatoire</a></li>

<li><a href="Conjecture_de_Singmaster" title="Conjecture de Singmaster">Conjecture de Singmaster</a></li>

<li><a href="Formule_d'it%C3%A9ration_de_Pascal" title="Formule d'itération de Pascal">Formule d'itération de Pascal</a></li>

<li><a href="Formule_du_pion" title="Formule du pion">Formule du pion</a></li>

<li><a href="Loi_normale" title="Loi normale">Loi normale</a></li>

<li><a href="Matrice_de_Pascal" title="Matrice de Pascal">Matrice de Pascal</a></li>

<li><a href="Pyramide_de_Pascal" title="Pyramide de Pascal">Tétraèdre de Pascal</a></li>

<li><a href="Tableau_triangulaire" title="Tableau triangulaire">Tableau triangulaire</a></li>

<li><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l'%C3%A9toile_de_David" title="Théorème de l'étoile de David">Théorème de l'étoile de David</a></li>

<li><a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lucas" title="Théorème de Lucas">Théorème de Lucas</a></li>

<li><a href="Nombre_de_Delannoy" title="Nombre de Delannoy">Triangle de Delannoy</a></li>

<li><a href="Triangle_de_Pascal_(2%2C1)" title="Triangle de Pascal (2,1)">Triangle de Pascal (2,1)</a></li>

<li><a href="Coefficient_fibonomial#Triangle_fibonomial" title="Coefficient fibonomial">Triangle fibonomial</a></li>

<li>Triangles des <a href="Nombre_de_Stirling" title="Nombre de Stirling">nombres de Stirling</a></li></ul>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/PascalsTriangle.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Pascal's Triangle</cite></a> », sur <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Combinatorics/LeibnitzTriangle.shtml">Leibniz and Pascal Triangles</a> sur <a href="Cut-the-knot" class="mw-redirect" title="Cut-the-knot">cut-the-knot</a></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/DotPatterns.shtml">Dot Patterns, Pascal Triangle and Lucas Theorem</a> sur cut-the-knot</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://jeff560.tripod.com/p.html">Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)</a></li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://ptri1.tripod.com"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Pascal's Triangle And Its Patterns</cite></a> », sur ptri1.tripod.com</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pascal.triangle.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Pascal's Triangle</cite></a> », sur The Math Forum - Ask Dr. Math: FAQ</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://blaisepascal.bibliotheques-clermontmetropole.eu/son-oeuvre/pascal-savant/mathematiques/le-triangle-arithmetique">Explication vidéo et en image</a> du triangle de Pascal. Réalisé par <a href="Clermont_Auvergne_M%C3%A9tropole" title="Clermont Auvergne Métropole">Clermont Auvergne Métropole</a>.</li></ul>

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